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수학
어제 모든것의 수다 통계 관련 강의를 들은 고등학교 교사입니다.
학교에서 통계수업을 할 때 학생들이 가진 자료를 이용해 통계를 내주거나 값을 계산해주는 통계프로그램을 추천해주실 수있을까요?
R을 많이 사용하는데 이는 고등학생에게는 어려울 수 있으니까 R 설치이후에 R commander라는 add-on package를 사용하면 보다 편리하게 사용할 수 있습니다. 전희원님의 R 기반 데이터 시각화 document (주소 http://freesearch.pe.kr/archives/3891)를 다운 받아 보시면 R과 R coomander 설치법이 나오고 구글에서 R commander를 검색해보시면 보다 많은 참고문헌을 발견할 수 있을 겁니다.

- 장원철 드림(서울대 통계학과 교수)
어제 리만 가설에 대한 강의를 들었습니다.
리만 가설에 대해 연구한 부분을 다른 수학자와 공유하게 되면
다른 수학자가 증명하게 될까봐 공유하기 힘들것 같은데 실제로 어떤가요
리만가설을 도전하겠다고 선언한다는 건 자기가 누려온 대부분의 것들을 포기하는 것과 같습니다. 잃을게 너무 많아요. 논문의 개수가 현저히 줄어들고 속한 수학커뮤니티로부터 소외받게되고 젊은 사람의 경우 일자리를 잡거나 승진에 치명타를 입을 수 있습니다. 이런걸 무릅쓰고 용감하게 리만가설을 도전하는 젊은이는 극히 드물고 중진 수학자들의 경우 이루어놓은 안전한 성에서 나와 험난한 길을 간다는 걸 기대하긴 매우 힘들죠.
그런데 여런 난관을 극복하고 예를 들면 15년만에 아이디어를 얻었습니다. 다른 수학자와 아이디어를 공유해야하나요? 공유한다는 것이 매우 어려울 것이 예상되죠.
리만가설에 대해서 아이디어가 있는 수학자가 없어요. 그럴듯한 생각을 할 수 있겠지만
현실적으로 그런 생각들을 공유하는 것은 쉽지 않습니다. 한쪽에서만 일방적으로
아이디어를 제공하게 되고 그것을 일일이 설명해야 되는 경우가 많을 겁니다. 시간낭비죠.
(사실 도전도 않하는 사람들에게 접근해서 알려줄 필요가 있을까요?)
우연히 교류가 일어나기도 하는데 균형이 맞는 경우죠. 일방적인 경우가 아니고요.
- 기하서 드림(연세대학교 수학과 교수)
가설을 푼다는 것은 보이지 않는 자연의 이치를 수학적으로 증명해내는 과정이라고 볼때 '리만가설'을 풀면 어떤 원리를 증명해내게 되는 것인가요 ? 정해진 실수의 범위내에서 소수가 몇개인지 알아내는 방정식을 증명한다는 것이 자연의 흐름을 읽을 수 있는 방법을 알아냈다고 할 수 있는 것인가요 ? 수학적 숫자놀음이라고 한다면 아무 의미없는 '숫자 유희'에 지나지 않는 것은 아닌지요 ?
리만가설은 본질적으로는소수의 개수를 주어진 실수까지 정확히 알고 싶은 문제인데 리만제타함수의 영점이 1/2축위에 있다 추측이죠.
거칠게 말하면 이게 전부죠.
그런데 수학을 연구하다보니 각종 제타함수가 있고 그 제타함수들이 리만가설이(영점이 1/2축위에 있다) 있다는 겁니다. 그래서 리만가설은 무수히 많이 있고 제타함수의 특색에따라 다양한 수론의 정보를 정밀히 말해 주고 있죠. 수학에 이런 문제는 리만가설밖에 없습니다.
유희라고 볼 수가 없죠. 인간이 추구해야 될 궁극의 문제입니다.
- 기하서 드림(연세대학교 수학과 교수)
양함수(explicit function, 陽函數)와 음함수(implicit function, 陰函數)라는
이름은 왜 위와 같이 명명하게 된건가요???
양함수, 음함수라고 명명한것은 아마도 일본 책을 가져다 써서 그렇게 불렸던 것 같습니다. 한자의 의미를 생각하면 잘 알 수 있습니다.

가령 x + y - 1 = 0, 이라는 관계식을 생각해 보면, 이 관계식만 보면, x 가 독립 변수(indepedent variable)이고,y 가 종속 변수(dependent variable)인지 확실치 않습니다. 이경우에는 y = -x + 1 로 고쳤쓰면, x가 독립변수가 되고, y가 종속 변수가 됩니다. 물론 주어진 관계식을 x = -y + 1 로도 쓸 수 있습니다. 이경우에는 y가 독립변수이고, x 가 종속 변수가 됩니다.

따라서 함수 관계식 x + y - 1 = 0 을 implicit representation 이라고 부르고, 반면에 y = -x + 1 혹은 x = -y + 1을 함수의 explicity form (즉 독립변수, 종속변수가 명확한 표현) 이라고 부릅니다.

이제 우리가 알고 있는 양 과 음을 생각해 보면, 양은 뭔가 밖으로 드러난것, 반면에 음은 숨어 있는 것의 의미가 있습니다. 예를 들자면 "국정원"을 "음지에서 일한다" 라고 하는데 이때 음은 "드러내지 않고, 숨어서, .... "라는 뜻이 되지요. - 하승열 드림(서울대학교 수리과학부 교수)
명쾌한 답변 감사드립니다. :) episode-20**
수에 대한 개념에 본질은 어떤 것인가요?
우주가 수학적인 재료로 이루어져 있으며, 수학자의 역할은 오직 그것을 발견하는 것인가요?
아니면 마치 색깔을 감각하는 것처럼 자연에 있는 어떤 성질을 인간이 이미 보유하고 있고 이해가능한 형태로 추출하여 감각하는 것인가요?
철학적인 질문을 주셨네요? 고맙습니다.
독일의 수학자였던 크로네커는 "정수는 신이 만들었지만 나머지 모든 것은 인간이 만들었다"고 했습니다.
수학자들도 우주가 돌아가는 모습에서 영감을 얻어서 새로운 이론을 만들어내곤 합니다.
하지만 현대 수학자들은 엄밀성을 추구하기 위해 우리가 사는 우주보다는 수학자들이 건설한 세계인 공리 체계 안에서 참인 명제를 모으고 분류하고 확장하는데 힘을 쏟습니다.
물론 이러한 공리 체계를 만들때 우리가 경험하는 수가 포함되도록, 그리고 우리가 경험하는 우주와 비슷하도록 설계하는 덕에 우주를 잘 설명할 수 있게 되었지요.
무한을 다르는 수학 이론으로 들어가보면 인간이 가진 상식과 어긋나는 특이한 결과들이 많습니다.
어떤 공리를 약속하느냐에 따라 나타나는 세상이 매우 다릅니다.
예컨데, 바나흐 타르스키 역설 같은 것을 처음 보면 대단히 믿기 어렵습니다.
즉 어떻게 보면 수학자들은 우리가 사는 우주가 아닌 자기가 좋아하는 공리로 구성된 세계에서
완벽한 논리로 증명된 사실들이 어떤 모습인지 발견하는 작업을 하고 있다고 생각할 수 있을 것 같습니다.
- 엄상일 드림(카이스트 수리과학과 교수)
미래의 수학자라는 강연과 패널토의에서 Coq는 증명을 도와주는 프로그램이라고 하셨는데요. 그렇다면 Coq는 어떤 방식으로 검증이 되는 건지 궁금합니다.
Coq 증명 보조기는 두 영역으로 나누어져 있습니다.

하나는 논리증명 영역이고, 다른 하나는 완성된 증명의 안전성을 확인하는 검증영역입니다. 논리증명 영역은 수리논리학자들이 기존에 세워 놓은 이론을 코드로 구현한 영역이고, 검증영역은 논리증명 영역에서 생성된 모든 증명과 프로그램이 지정된 결과를 제대로 도출하는가 여부를 최종 확인하는 영역입니다.

논리증명 영역은 기존의 수리논리 이론에 대한 연구결과를 통해 검증되었다고 봅니다. 반면에 검증영역의 경우는 좀 더 어렵습니다. 검증영역은 Coq의 핵심이며 따라서 커널(kernel)에 포함되어 있습니다. 그런데 커널을 구현하는 코드는 3천여 줄에 불과합니다. 따라서 사람들이 섬세한 부분까지 직접 눈으로 조심스럽게 검증을 합니다. 물론 다양한 검증 도구를 이용하기도 합니다. 이런 식으로 사람이 직접, 아니면 도구들 간의 상호검증 방식을 이용합니다.

물론 언급된 방식은 100% 안전성을 보장하지 못합니다. 사실, 어떤 방식을 이용한다 하더라도 Coq과 같은 도구를 100% 검증하는 일은 불가능합니다. 그래서 개발자들은 커널 부분을 절대로 크게 만들지 않습니다. 예상못하는 문제를 피하기 위해서입니다. Automath라는 최초의 자동증명기를 구현한 드 브로인(de Bruijn)이라는 저명한 네덜란드 논리학자가 이미 1970년대에 이 문제를 언급하고 작은 커널을 사용해야 한다는 원칙을 제안하였는데, 그래서 "드 브로인 원칙"이라고 불리기도 합니다. - 이계식 드림(한경대 컴퓨터공학과 교수)
"나는 나인가"라는 주제가 수학적으로 다루어 진 적이 있나요?
나=나 인가요?
'나는 나를 포함할 수 있는가'는 러셀의 역설이라고 부르는 문제입니다.
모든 집합의 집합을 (만들수 있다고 가정할 때) 전체집합 U라 하자.
이때 R = {S in U : S not in S}을 정의하면,
즉 R을 {전체 집합 U에 포함되지만 자기을 제외한 집합} 이라 하자.

R은 R을 포함한다고 하여도 모순이고 포함하지 않는다고 하여도 모순임.
1. R은 자기자신을 제외한 집합이라고 했으니, 포함한다고 하면 모순.
2. R이 자기자신을 포함함지 않는다고 하면
R의 정의가 자기자신을 포함하지 않는 모든 집합의 집합이므로 모순

비유를 들자면 "자기스스로 머리를 깍지 않는 사람들 모두의 머리를
깍아주는 이발사"가 있다고 하면, 이 이발사는 자신의 머리를 깍을까요?

1. 깍아주지 않는다고 하면, 스스로 머리를 깍지 않으므로 포함되어야 하고
2. 깍아준다고 하면, 이발사는 스스로 머리를 깍지 않는 사람들만
깍는다고 했으니 역시 모순

이와 같은 모순이 생기는 이유는 "모든 집합의 집합", "모두"와 같이
너무 큰 집합을 가정했기 때문입니다. 나 자신도 포함되는 무한집합을 정의하면
러셀의 모순이 생기므로, 집합론은 나를 포함하는 무한 집합은 다루지 않습니다.

- 이준엽 드림(이화여대 수학과 교수)
'내가 벽을 뚫고 지나갈 확률이 0은 아니다' 라는 것과, '실제 그런 일은 일어나지는 않는다' 라는 것은 모순 아닌가요? 실제로는 어떠한 경우라도 나타날 수 없는 명제에 대해서, 왜 수학적 확률은 0이 아닌건가요?
‘일어날 확률이 극히 작다’와 ‘일어날 확률이 없다(확률이 0이다)’라는 것은 다른 얘기입니다. 동전을 50번 던졌을 때 50번 모두 앞면이 나올 확률은 2의 50승 분의 1, 엄청나게 작은 확률입니다. 그러나 전혀 일어날 수 없는 사건은 아닙니다. 이를테면 동전을 5회 던져서 5번 모두 앞면이 나올 확률은 2의 5승 분의 1 다시말해 1/32입니다. 우리 생활 속에서도 충분히 일어날 수 있는 사건입니다. 그렇다면 몇 회 쯤 던졌을 때 모두 앞면이 나오는 것을 거의 일어날 수 없는 사건이라고 말해야 하는 걸까요? 애매하겠지요? 그 경계선을 딱하고 긋기는 어렵습니다. 2의 50승은 대략 1000조에 해당하는 어마어마한 숫자입니다. 동전 50번이 모두 앞면이 나올 가능성은 거의 없다는 얘기죠. 하지만 그 가능성이 0은 아닙니다. 시행을 10000조 쯤 하면 10번 정도는 나올 수 있다는 얘기입니다. 우주의 시간과 규모는 인간의 상상을 초월할 정도로 어마어마합니다. 이런 사건도 드물지만 때로는 일어날 수 있다는 얘기인 거죠. 따라서 확률이 극히 작은 경우와 0인 경우는 구별해야 합니다.
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