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수학
'내가 벽을 뚫고 지나갈 확률이 0은 아니다' 라는 것과, '실제 그런 일은 일어나지는 않는다' 라는 것은 모순 아닌가요? 실제로는 어떠한 경우라도 나타날 수 없는 명제에 대해서, 왜 수학적 확률은 0이 아닌건가요?
‘일어날 확률이 극히 작다’와 ‘일어날 확률이 없다(확률이 0이다)’라는 것은 다른 얘기입니다. 동전을 50번 던졌을 때 50번 모두 앞면이 나올 확률은 2의 50승 분의 1, 엄청나게 작은 확률입니다. 그러나 전혀 일어날 수 없는 사건은 아닙니다. 이를테면 동전을 5회 던져서 5번 모두 앞면이 나올 확률은 2의 5승 분의 1 다시말해 1/32입니다. 우리 생활 속에서도 충분히 일어날 수 있는 사건입니다. 그렇다면 몇 회 쯤 던졌을 때 모두 앞면이 나오는 것을 거의 일어날 수 없는 사건이라고 말해야 하는 걸까요? 애매하겠지요? 그 경계선을 딱하고 긋기는 어렵습니다. 2의 50승은 대략 1000조에 해당하는 어마어마한 숫자입니다. 동전 50번이 모두 앞면이 나올 가능성은 거의 없다는 얘기죠. 하지만 그 가능성이 0은 아닙니다. 시행을 10000조 쯤 하면 10번 정도는 나올 수 있다는 얘기입니다. 우주의 시간과 규모는 인간의 상상을 초월할 정도로 어마어마합니다. 이런 사건도 드물지만 때로는 일어날 수 있다는 얘기인 거죠. 따라서 확률이 극히 작은 경우와 0인 경우는 구별해야 합니다.
2분의 3이나 3분의 4와 같이, 1과 단위분수의 합인 분수를 영어로는 superparticular ratio 또는 epimoric ratio라고 하는데요, 한국어로는 이 분수 또는 비율을 무엇이라고 하나요?
글쎄요, 한국어로는 별도의 명칭이 없는 걸고 아는데 몇 분 수학 교수님께 다시 한번 여쭤보도록 하겠습니다.
수학에 대한 질문이 될지는 모르겠으나, 질문을 드려봅니다.
수학에 관심이 많아서 깊이 있게 공부하고 싶어서 혼자 공부하고 있지만 공부를 하다보면 정말 막막한 문제를 많이 만나고, 또 가끔은 증명에 쓰인 발상 자체가 너무 생소한 경우가 있어서, 스스로 아 나는 정말 멍청한건가 느끼기도 하고, 혼자 공부하기가 어렵습니다. 어떻게 하는 것이 수학을 재밌게 그리고 잘 공부할 수 있는 방법일까요? 첨단의 수학분야를 혼자 공부하는 것은 무리일까요?
네 일단 저희 재단은 자연과학 뿐 아니라 수학도 다루고 있다는 걸 알려 드립니다. 수학은 ‘과학의 언어'니까요. 일반적으로 수학은 굉장히 어려운 학문으로 인식되고 있고 그것이 어느정도는 사실입니다. 그것을 혼자 공부하고 계시다니 일단 놀랍고도 존경스럽습니다. 수학은 그 수준이 천차만별이라 질문하신 분의 수준이 어떤지, 지금 공부하고 계신 게 어떤 건지를 모르고는 사실 뭐라 답변드리기 곤란할 것 같습니다. 하지만 말씀하신대로 첨단의 수학 분야를 혼자 공부하는 것은 일반적으로 무리가 있을 수 있을 것 같습니다. 저희 과학위원 중에는 저명한 수학자이신 고계원 교수님도 계시고 저희 자문으로는 옥스퍼드 대학의 김민형 교수님도 계시니 공부하시다 이해가 되지 않는 부분은 질문해 주세요.
평면에서의 벡터 외적이 가능한가요? 그리고 내적은 방향이 없지만 외적은 방향이 생기는 이유는 무엇입니까?
2차원 평면에서는 벡터의 외적이 정의될 수 없습니다. 왜냐하면 외적은 두 벡터에 동시에 수직인 벡터로 정의되기 때문에 반드시 3차원 공간이 필요하기 때문입니다. 그리고 전번 질문에서도 얘기했지만 벡터 외적은 기본적으로 자기장 내에서 전하(전기를 띤 입자)가 받는 '힘'을 설명하기 위해 정의된 개념이기 때문에 방향이 중요합니다. 힘이 크기와 방향을 가진 벡터라는 것은 알고 계시죠? 따라서 외적도 벡터입니다. '내적은 뱡향이 없지만 외적은 방향이 생기는 이유는?'라는 질문은 사실 주객이 전도된 질문입니다. 내적과 외적은 정의된 개념일 뿐입니다. 내적은 주로 두 벡터의 방향성 즉 두 벡터가 이루는 각이 얼마인지와 연관된 개념이기 때문에 방향이 없는 스칼라양으로 정의되었다고 이해하시면 될 것 같습니다. (각은 방향이 없는 스칼라양이겠죠?)
벡터의 외적에서 방향을 곱한다는 의미가 무엇입니까?
아마도 벡터의 외적에서 A방향의 벡터와 B방향의 벡터를 곱할 때 그 결과로 나타나는 벡터는 어느 방향인가를 물어보는 질문인 것 같습니다. '오른나사의 법칙'이라고 들어보셨는지요? 오른손으로 A방향에서 B방향으로 회전하듯 말아쥘 때 엄지손가락이 가리키는 방향입니다. (그림을 사용할 수 없어 답답하군요.) 그러면 A벡터와 B벡터에 동시에 직각인 벡터가 나타나겠지요.
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